Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- dsp:z_xfer [2013/05/07 16:54] – created randy
+++ dsp:z_xfer [2022/09/01 13:44] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 2: / Line 2: @@
 ===== Opgave 4.13 =====
+a) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = 0 $$
+Dus een nulpunt precies op de cirkelrand:
 $$
-H(z) = \frac{  (z-1) (z-e^{j\frac{\pi}{3}}) (z-e^{-j\frac{\pi}{3}})   }{  z \cdot (z - 0.9 \cdot e^{j \frac{2 \pi}{3} })  (z - 0.9 \cdot e^{-j \frac{2 \pi}{3} }) }
+\begin{split}
+z &= e^{j \cdot 0} \\
+&= \cos {0} + j \sin{0} \\
+&= 1
+\end{split}
 $$
+b) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = \frac{\pi}{3} $$
+Hieruit volgt:
+$$
+\begin{split}
+z &= e^{j\frac{\pi}{3}} \\
+&= \cos{\frac{\pi}{3}} + j \sin{\frac{\pi}{3}} \\
+&= \frac{1}{2} + j \frac{1}{2} \sqrt{3}
+\end{split}
+$$
+c) Een nauwe doorlaatband bij $$ \Omega = \frac{2\pi}{3} $$ als gevolg van polen in het z-vlak met straal r=0.9.
+d) Geen overbodige vertraging in het uitgangssignaal.
+Voor de nulpunten / polen is er altijd een complex geconjugeerde, dus voor elke term is er een term met -j.
+  * Oranje volgt uit vraag A
+  * Groen volgt uit vraag B
+  * Rood volgt uit vraag D
+  * Groen volgt uit vraag C
+$$
+H(z) = \frac{  \color{orange}{(z-1)} \color{green} { (z-e^{j\frac{\pi}{3}}) (z-e^{-j\frac{\pi}{3}}) }  }{  \color{red}{z} \cdot \color{blue}{ (z - 0.9 \cdot e^{j \frac{2 \pi}{3} })  (z - 0.9 \cdot e^{-j \frac{2 \pi}{3} }) } }
+$$
+Nu uitwerken:
+Stap: ?
+$$
+\frac   {  (z-1) (z^{2} - 2 \cdot 1 \cdot z \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} + 1^{2})  }
+{z \cdot (z^{2} - (2 \cdot 0.9 \cdot z \cdot \cos{\frac{2 \pi}{3}}) + 0.9^{2} )}
+$$
+UItwerken:
+$$
+\frac  {(z-1) \cdot (z^{2} - z+1)}
+{z \cdot z^{2} + 0.9z + 0.81}
+$$
+Uitwerken?:
+$$
+\frac  {z^{3} - z^{2} + z - z^{2} + z - 1}
+{z^{3} + 0.9 z^{2} + 0.81z}
+$$
+Pak hoogste macht (z3)
+$$
+\frac {z^{3} - 2z^{2} + 2z-1}
+{z^{3} + 0.9z^{2} + 0.81z}
+$$
+Breuk delen door z3
+$$
+\frac {1 - 2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3}}
+{1 + 0.9 z^{-1} + 0.81 z^{-2}}
+$$
+Is nu de overdracht:
+$$
+H(z) = \frac {y(z)}{x(z)}
+$$
+Stap?:
+$$
+y(z)(1+0.9 \cdot z^{-1} + 0.81 z^{-2} )  =  x(z)(1-2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3} )
+$$
+Stap (naar tijddomein?):
+$$
+\begin{split}
+y[n] &= -0.9 \cdot y[n-1] - 0.81 y[n-1] \\
+y[n] &= x[n] - 2x[n-1] + 2x[n-1]
+\end{split}
+$$