Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- verbandeninzichten:calculus [2012/08/02 11:58] – randy
+++ verbandeninzichten:calculus [2022/09/01 11:44] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 3: / Line 3: @@
 Hieronder volgen verschillende aantekeningen betreft Calculus.
- --- //[[randy@tty32.org|randy]] 2012/06/29 15:04//
+**Waarschuwing: Dit is geen HBO wiskunde maar Universiteit wiskunde.** Wil dit zeggen dat je er als HBO'er niets aan hebt? Het is niet essentieel, maar kennis hiervan vergroot je begrip over wiskunde en de diepgang laat zien dat ook wiskunde een kunst is en niet een bak vol saaie getallen.
+ --- //[[randy@tty32.org|randy]] 2013/06/26 11:11//
 ===== Domein (context: functie) =====
@@ Line 57: / Line 60: @@
   * Limieten
   * Average rate of change
+  * Breuken (vereenvoudigen)
+  * Machtsregels
 Laten we voor het gemak de functie
@@ Line 86: / Line 91: @@
 Voor simpliciteit is de functie x^2 gekozen in de grafiek, dit maakt voor ons nu niets uit. Wat belangrijk is, is de groene lijn, de raaklijn.
-Om deze te berekenen, pakken we de average rate of change formule erbij (differential quotiënt):
+Om deze te berekenen, pakken we de average rate of change formule erbij (differentiaal quotiënt):
 $$
@@ Line 94: / Line 99: @@
 $$
+In essentie bereken je hier óók de RC mee. Je pakt namelijk een klein stukje delta Y en deelt deze door delta X. Je krijgt dan de RC (bij benadering!) uit. Hoe groot je deze delta's maakt hangt af van **h**. Wat **h** is, is nu niet belangrijk. Waar het om gaat is om de benadering van de RC zo goed mogelijk te krijgen, je **h** oneindig klein moet maken. De RC raakt dan steeds meer de grafiek x^2 op een bepaald punt, maar het blijft een benadering, je krijgt deze met de differentiaal quotiënt nooit **precies** uit. Dit is echter wel mogelijk met behulp van **limieten**:
+We kunnen nu met de differentiaal quotiënt + een limiet de **exacte** RC berekenen door hiervoor de afgeleide te vinden.
+We pakken het differentiaal quotiënt weer erbij, maar nu met een limiet voor **h**. We moeten **h** oneindig klein maken om de beste nauwkeurigheid te verkrijgen. We zullen hierbij heel dicht bij **0** komen, maar zullen deze nooit bereiken, we kunnen immers geen **0** invullen bij onze differentiaal quotiënt, dan krijgen we een deling door **0**! Het limiet is dus vanzelfsprekend **0**, de waarde die we nooit zullen bereiken maar wel heel dicht kunnen benaderen.
 $$
-\color{red}{ bla test}
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } = f'(x)
+\end{split}
+$$
+We substitueren **f(a)** voor onze functie **x^4**:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)\color{red}{ ^{4} } - f(x)\color{red}{ ^{4} } }{ h } = f'(x)
+\end{split}
+$$
+Hetgeen wat we nu moeten doen, is deze formule vereenvoudigen. Dit heeft dus op dit moment niets meer met differentiëren te maken!
+Het is nu een kwestie om met behulp van de driehoek van pascal het merkwaardig product uit te werken, en vervolgens met machtsregels en breukregels verder vereenvoudigen.
+Als eerst het merkwaardig product, deze bevindt zich als het blauw gearceerde:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ (x+h)^{4} } - x^{4} }{ h }
+\end{split}
+$$
+We nemen de driehoek van pascal erbij:
+{{:verbandeninzichten:driehoek_van_pascal.png|}}
+We hebben een hogere-machts merkwaardig product van graad 4. Dus we nemen de factoren van **n=4** uit de driehoek van pascal (1, 4, 6, 4 en 1), en kunnen nu de haakjes uitwerken.
+  * Blauw is het uitgewerkt merkwaardig product
+  * Oranje zijn de factoren uit de driehoek van pascal
+  * Zwart is ongewijzigd vanuit de vorige formule
+Zoals je kunt zien hebben we nu een nogal lange reeks van een som van product-termen, precies wat we willen.
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{
+\color{orange}{1} \cdot x^{4} \cdot h^{0}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h^{1}  \color{black}{+}  \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{1} \cdot h^{3}  \color{black}{+}  \color{orange}{1} \cdot x^{0} \cdot h^{4}
+    }  - x^{4} }{ h }
+\end{split}
+$$
+Toegegeven, het is een lange som, maar dit is enkel om aan te geven wat er gebeurt. We zullen onzinnige termen zoals //1 maal// en //x tot de macht 0// (=1) verwijderen, deze veranderen de formule niet, en word de formule iets eenvoudiger te lezen.
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{
+x^{4} \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h \color{black}{+}  \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x \cdot h^{3}  \color{black}{+}  h^{4}
+    }  - x^{4} }{ h }
+\end{split}
+$$
+**x^4** en **-x^4** vallen in de teller tegen elkaar weg:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{red}{x^{4}} + 4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4}  \color{red}{ - x^{4} } }{ h }
+\end{split}
+$$
+Wordt:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{  4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4}   }{ h }
+\end{split}
+$$
+Nu komt een machtsregel (geen breukregel zoals doet vermoeden) erbij kijken. De noemer met **h** valt tegen de **h**-tjes in de teller weg:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0}  ( 4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot h + 4 \cdot x \cdot h^{2} + h^{3}  )
+\end{split}
+$$
+Nu komt onze vriend de limiet ons redden. Het limiet voor de formule is als **h** tot **0** gaat, dus vullen we overal waar **h** staat **0** in!
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} (  4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot \color{red}{0} + 4 \cdot x \cdot \color{red}{0}^{2} + \color{red}{0}^{3}   )
+\end{split}
+$$
+We krijgen vervolgens onze eenvoudige uitkomst en tevens de rekenregel!
+$$
+\begin{split}
+\cdot x^{3}
+\end{split}
 $$