Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- verbandeninzichten:calculus [2012/08/02 12:33] – randy
+++ verbandeninzichten:calculus [2022/09/01 11:44] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 3: / Line 3: @@
 Hieronder volgen verschillende aantekeningen betreft Calculus.
- --- //[[randy@tty32.org|randy]] 2012/06/29 15:04//
+**Waarschuwing: Dit is geen HBO wiskunde maar Universiteit wiskunde.** Wil dit zeggen dat je er als HBO'er niets aan hebt? Het is niet essentieel, maar kennis hiervan vergroot je begrip over wiskunde en de diepgang laat zien dat ook wiskunde een kunst is en niet een bak vol saaie getallen.
+ --- //[[randy@tty32.org|randy]] 2013/06/26 11:11//
 ===== Domein (context: functie) =====
@@ Line 100: / Line 103: @@
 We kunnen nu met de differentiaal quotiënt + een limiet de **exacte** RC berekenen door hiervoor de afgeleide te vinden.
-We pakken het differentiaal quotiënt weer erbij, maar nu met een limiet voor **h**:
+We pakken het differentiaal quotiënt weer erbij, maar nu met een limiet voor **h**. We moeten **h** oneindig klein maken om de beste nauwkeurigheid te verkrijgen. We zullen hierbij heel dicht bij **0** komen, maar zullen deze nooit bereiken, we kunnen immers geen **0** invullen bij onze differentiaal quotiënt, dan krijgen we een deling door **0**! Het limiet is dus vanzelfsprekend **0**, de waarde die we nooit zullen bereiken maar wel heel dicht kunnen benaderen.
 $$
@@ Line 112: / Line 115: @@
 $$
 \begin{split}
-\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h)\color{red}{ ^{4} } - f(a)\color{red}{ ^{4} } }{ h } = f'(x)
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)\color{red}{ ^{4} } - f(x)\color{red}{ ^{4} } }{ h } = f'(x)
 \end{split}
 $$
@@ Line 123: / Line 126: @@
 $$
 \begin{split}
-\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ (a+h)^{4} } - a^{4} }{ h }
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ (x+h)^{4} } - x^{4} }{ h }
 \end{split}
 $$
@@ Line 136: / Line 139: @@
   * Oranje zijn de factoren uit de driehoek van pascal
   * Zwart is ongewijzigd vanuit de vorige formule
+Zoals je kunt zien hebben we nu een nogal lange reeks van een som van product-termen, precies wat we willen.
 $$
@@ Line 141: / Line 146: @@
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{
 \color{orange}{1} \cdot x^{4} \cdot h^{0}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h^{1}  \color{black}{+}  \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{1} \cdot h^{3}  \color{black}{+}  \color{orange}{1} \cdot x^{0} \cdot h^{4}
-    }  - a^{4} }{ h }
+    }  - x^{4} }{ h }
 \end{split}
 $$
+Toegegeven, het is een lange som, maar dit is enkel om aan te geven wat er gebeurt. We zullen onzinnige termen zoals //1 maal// en //x tot de macht 0// (=1) verwijderen, deze veranderen de formule niet, en word de formule iets eenvoudiger te lezen.
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{
+x^{4} \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h \color{black}{+}  \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2}  \color{black}{+}  \color{orange}{4} \cdot x \cdot h^{3}  \color{black}{+}  h^{4}
+    }  - x^{4} }{ h }
+\end{split}
+$$
+**x^4** en **-x^4** vallen in de teller tegen elkaar weg:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{red}{x^{4}} + 4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4}  \color{red}{ - x^{4} } }{ h }
+\end{split}
+$$
+Wordt:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} \frac{  4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4}   }{ h }
+\end{split}
+$$
+Nu komt een machtsregel (geen breukregel zoals doet vermoeden) erbij kijken. De noemer met **h** valt tegen de **h**-tjes in de teller weg:
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0}  ( 4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot h + 4 \cdot x \cdot h^{2} + h^{3}  )
+\end{split}
+$$
+Nu komt onze vriend de limiet ons redden. Het limiet voor de formule is als **h** tot **0** gaat, dus vullen we overal waar **h** staat **0** in!
+$$
+\begin{split}
+\lim_{h \rightarrow 0} (  4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot \color{red}{0} + 4 \cdot x \cdot \color{red}{0}^{2} + \color{red}{0}^{3}   )
+\end{split}
+$$
+We krijgen vervolgens onze eenvoudige uitkomst en tevens de rekenregel!
+$$
+\begin{split}
+\cdot x^{3}
+\end{split}
+$$