====== Z Transformatie ======

===== Opgave 4.13 =====

a) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = 0 $$

Dus een nulpunt precies op de cirkelrand:

$$
\begin{split} 
z &= e^{j \cdot 0} \\
&= \cos {0} + j \sin{0} \\
&= 1
\end{split} 
$$

b) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = \frac{\pi}{3} $$

Hieruit volgt:

$$
\begin{split}
z &= e^{j\frac{\pi}{3}} \\
&= \cos{\frac{\pi}{3}} + j \sin{\frac{\pi}{3}} \\
&= \frac{1}{2} + j \frac{1}{2} \sqrt{3} 
\end{split}
$$

c) Een nauwe doorlaatband bij $$ \Omega = \frac{2\pi}{3} $$ als gevolg van polen in het z-vlak met straal r=0.9.

d) Geen overbodige vertraging in het uitgangssignaal.

Voor de nulpunten / polen is er altijd een complex geconjugeerde, dus voor elke term is er een term met -j.

  * Oranje volgt uit vraag A
  * Groen volgt uit vraag B
  * Rood volgt uit vraag D
  * Groen volgt uit vraag C

$$
H(z) = \frac{  \color{orange}{(z-1)} \color{green} { (z-e^{j\frac{\pi}{3}}) (z-e^{-j\frac{\pi}{3}}) }  }{  \color{red}{z} \cdot \color{blue}{ (z - 0.9 \cdot e^{j \frac{2 \pi}{3} })  (z - 0.9 \cdot e^{-j \frac{2 \pi}{3} }) } }
$$

Nu uitwerken:

Stap: ?


$$
\frac   {  (z-1) (z^{2} - 2 \cdot 1 \cdot z \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} + 1^{2})  }
{z \cdot (z^{2} - (2 \cdot 0.9 \cdot z \cdot \cos{\frac{2 \pi}{3}}) + 0.9^{2} )}
$$


UItwerken:

$$
\frac  {(z-1) \cdot (z^{2} - z+1)}
{z \cdot z^{2} + 0.9z + 0.81}
$$

Uitwerken?:

$$
\frac  {z^{3} - z^{2} + z - z^{2} + z - 1}
{z^{3} + 0.9 z^{2} + 0.81z}
$$

Pak hoogste macht (z3)

$$
\frac {z^{3} - 2z^{2} + 2z-1}
{z^{3} + 0.9z^{2} + 0.81z}
$$

Breuk delen door z3

$$
\frac {1 - 2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3}}
{1 + 0.9 z^{-1} + 0.81 z^{-2}}
$$

Is nu de overdracht:

$$
H(z) = \frac {y(z)}{x(z)}
$$

Stap?:

$$
y(z)(1+0.9 \cdot z^{-1} + 0.81 z^{-2} )  =  x(z)(1-2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3} )
$$

Stap (naar tijddomein?):

$$
\begin{split}
y[n] &= -0.9 \cdot y[n-1] - 0.81 y[n-1] \\ 
y[n] &= x[n] - 2x[n-1] + 2x[n-1]
\end{split}
$$