====== 4.9-4.12 (blz 117) ======

1)
$$
H(z) = \frac{1}{ z(z-1)(2z-1) } = \frac{ Y(z) }{ X(z) }
$$

2)
$$
Y(z)\{{z(z-1)(2z-1)}\} = X(z)
$$

3)
$$
z (z-1)(2z-1)
$$

We groepen dan eerst het merkwaardige product en noemen dit X
$$
z \underbrace{(z-1)(2z-1)}_\text{X}
$$

$$
X = 2z^2 - z - 2z + 1
$$

Nu kunnen we de z vermenigvuldigen met de uitgewerkte X term
$$
\eqalign{
z \cdot X &= z ( 2z^2 - z - 2z + 1 ) \\
          &= 2z^3 - \underbrace{z^2 - 2z^2} + z \\
          &= 2z^3 - 3z^2 + z
}
$$

4)

Nu kunnen we de uitgewerkte term weer terug plaatsen en verder uitwerken

$$
\begin{split}
Y(z)\{{z(z-1)(2z-1)}\} \rightarrow Y(z)\{{2z^3 - 3z^2 + z}\} \\
{2z^3 Y(z)} - {3z^2 Y(z)} + z
\end{split}
$$

Dan gaan we vanuit de overdrachtsfunctie naar de ([[http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation|Recurrence relation]]) we vervangen daarbij z met een tijdverschijving van één.

$$
\begin{split}
{2z^3 Y(z)} - {3z^2 Y(z)} + z &= X(z) \\
2y[n+3] - 3y[n+2] + y[n+1] &= x[n] \\
2y[n] - 3y[n-1] + y[n-2] &= x[n-3] \space\text{(-3 bij alle indexen)} \\\
2y[n] \underbrace{- 3y[n-1] + y[n-2]}_\text{Naar rechts van = teken} &= x[n-3]
\end{split}
$$

$$
\begin{split}
              2y[n] &= 3y[n-1] - y[n-2] + x[n-3] \\
\frac{ 2y[n] }{ 2 } &= \frac{ 3y[n-1] - y[n-2] + x[n-3] }{ 2 } \\
               y[n] &= 1.5y[n-1] - 0.5y[n-2] + 0.5x[n-3]
\end{split} 
$$