Hieronder volgen verschillende aantekeningen betreft Calculus.

— randy 2012/06/29 15:04

Het domein omvat de waarden die geldig zijn als input voor een functie.

Het bereik omvat de waarden die een functie als output geeft.

Hieronder volgen de notaties voor het domein van een functie waarbij (als voorbeeld) x niet 0 en 1 kan zijn.

Domein notatie:

$$ \begin{split} \left \{ x \mid x \neq 0, x \neq 1 \right \} \\ \end{split} $$

Interval notatie:

$$ \begin{split} \left ( - \infty , 0 \right ) \cup \left (0 , 1 \right ) \cup \left (1 , \infty \right ) \end{split} $$

Average rate of change:

$$ \begin{split} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } \end{split} $$

De standaard rekenregels voor differentiëren omvat o.a een rekenregel voor n-de graads machten, namelijk:

$$ \begin{split} (x^{p})' = p \cdot x^{p-1} \end{split} $$

In woorden: De afgeleide van x tot de macht p is: p maal x tot de macht p min 1

Ik zal hieronder het bewijs geven (met uitleg) waarom de afgeleide van de n-de graads functie op deze manier getransformeerd word. Ik zal dit doen met behulp van de volgende methoden in de wiskunde. Deze zijn daarom ook een vereiste om te begrijpen.

• Driehoek van pascal
• Merkwaardige producten
• Limieten
• Average rate of change

Laten we voor het gemak de functie

$$ \begin{split} f(x) = x^{4} \end{split} $$

nemen. Met de rekenregel kunnen we eenvouding de afgeleide berekenen: kopiëer de exponent 4 naar voren, en doe de exponent -1:

$$ \begin{split} f'(x) = 4 \cdot x^{3} \end{split} $$

Echter gaan we nu bekijken hoe we tot deze rekenregel komen.

In de onderstaande grafiek is de:

• blauwe lijn onze functie x^2
• rode lijn de afgeleide functie: 2x
• groene lijn de RC op de raaklijn van x^2

Voor simpliciteit is de functie x^2 gekozen in de grafiek, dit maakt voor ons nu niets uit. Wat belangrijk is, is de groene lijn, de raaklijn.

Om deze te berekenen, pakken we de average rate of change formule erbij (differentiaal quotiënt):

$$ \begin{split} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } \end{split} $$

In essentie bereken je hier óók de RC mee. Je pakt namelijk een klein stukje delta Y en deelt deze door delta X. Je krijgt dan de RC (bij benadering!) uit. Hoe groot je deze delta's maakt hangt af van h. Wat h is, is nu niet belangrijk, waar het om gaat is om de benadering van de RC zo goed mogelijk te krijgen je h oneindig klein moet maken. De RC raakt dan steeds meer de grafiek x^2 op een bepaald punt, maar het blijft een benadering, je krijgt deze met de differentiaal quotiënt nooit precies uit.

Hier komt limieten bij kijken. We kunnen nu met de differentiaal quotiënt + een limiet de exacte RC berekenen door hiervoor de afgeleide te vinden.

We pakken het differentiaal quotiënt weer erbij, maar nu met een limiet voor h:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } = f'(x) \end{split} $$

$$ \color{red}{ bla test} $$