a) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = 0 $$

Dus een nulpunt precies op de cirkelrand:

$$ \begin{split} z &= e^{j \cdot 0} \\ &= \cos {0} + j \sin{0} \\ &= 1 \end{split} $$

b) Complete onderdrukking bij $$ \Omega = \frac{\pi}{3} $$

Hieruit volgt:

$$ \begin{split} z &= e^{j\frac{\pi}{3}} \\ &= \cos{\frac{\pi}{3}} + j \sin{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{1}{2} + j \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{split} $$

c) Een nauwe doorlaatband bij $$ \Omega = \frac{2\pi}{3} $$ als gevolg van polen in het z-vlak met straal r=0.9.

d) Geen overbodige vertraging in het uitgangssignaal.

Voor de nulpunten / polen is er altijd een complex geconjugeerde, dus voor elke term is er een term met -j.

• Oranje volgt uit vraag A
• Groen volgt uit vraag B
• Rood volgt uit vraag D
• Groen volgt uit vraag C

$$ H(z) = \frac{ \color{orange}{(z-1)} \color{green} { (z-e^{j\frac{\pi}{3}}) (z-e^{-j\frac{\pi}{3}}) } }{ \color{red}{z} \cdot \color{blue}{ (z - 0.9 \cdot e^{j \frac{2 \pi}{3} }) (z - 0.9 \cdot e^{-j \frac{2 \pi}{3} }) } } $$

Nu uitwerken:

Stap: ?

$$ \frac { (z-1) (z^{2} - 2 \cdot 1 \cdot z \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} + 1^{2}) } {z \cdot (z^{2} - (2 \cdot 0.9 \cdot z \cdot \cos{\frac{2 \pi}{3}}) + 0.9^{2} )} $$

UItwerken:

$$ \frac {(z-1) \cdot (z^{2} - z+1)} {z \cdot z^{2} + 0.9z + 0.81} $$

Uitwerken?:

$$ \frac {z^{3} - z^{2} + z - z^{2} + z - 1} {z^{3} + 0.9 z^{2} + 0.81z} $$

Pak hoogste macht (z3)

$$ \frac {z^{3} - 2z^{2} + 2z-1} {z^{3} + 0.9z^{2} + 0.81z} $$

Breuk delen door z3

$$ \frac {1 - 2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3}} {1 + 0.9 z^{-1} + 0.81 z^{-2}} $$

Is nu de overdracht:

$$ H(z) = \frac {y(z)}{x(z)} $$

Stap?:

$$ y(z)(1+0.9 \cdot z^{-1} + 0.81 z^{-2} ) = x(z)(1-2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3} ) $$

Stap (naar tijddomein?):

$$ \begin{split} y[n] &= -0.9 \cdot y[n-1] - 0.81 y[n-1] \\ y[n] &= x[n] - 2x[n-1] + 2x[n-1] \end{split} $$