Hieronder volgen verschillende aantekeningen betreft Calculus.

Waarschuwing: Dit is geen HBO wiskunde maar Universiteit wiskunde. Wil dit zeggen dat je er als HBO'er niets aan hebt? Het is niet essentieel, maar kennis hiervan vergroot je begrip over wiskunde en de diepgang laat zien dat ook wiskunde een kunst is en niet een bak vol saaie getallen.

— randy 2013/06/26 11:11

Het domein omvat de waarden die geldig zijn als input voor een functie.

Het bereik omvat de waarden die een functie als output geeft.

Hieronder volgen de notaties voor het domein van een functie waarbij (als voorbeeld) x niet 0 en 1 kan zijn.

Domein notatie:

$$ \begin{split} \left \{ x \mid x \neq 0, x \neq 1 \right \} \\ \end{split} $$

Interval notatie:

$$ \begin{split} \left ( - \infty , 0 \right ) \cup \left (0 , 1 \right ) \cup \left (1 , \infty \right ) \end{split} $$

Average rate of change:

$$ \begin{split} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } \end{split} $$

De standaard rekenregels voor differentiëren omvat o.a een rekenregel voor n-de graads machten, namelijk:

$$ \begin{split} (x^{p})' = p \cdot x^{p-1} \end{split} $$

In woorden: De afgeleide van x tot de macht p is: p maal x tot de macht p min 1

Ik zal hieronder het bewijs geven (met uitleg) waarom de afgeleide van de n-de graads functie op deze manier getransformeerd word. Ik zal dit doen met behulp van de volgende methoden in de wiskunde. Deze zijn daarom ook een vereiste om te begrijpen.

• Driehoek van pascal
• Merkwaardige producten
• Limieten
• Average rate of change
• Breuken (vereenvoudigen)
• Machtsregels

Laten we voor het gemak de functie

$$ \begin{split} f(x) = x^{4} \end{split} $$

nemen. Met de rekenregel kunnen we eenvouding de afgeleide berekenen: kopiëer de exponent 4 naar voren, en doe de exponent -1:

$$ \begin{split} f'(x) = 4 \cdot x^{3} \end{split} $$

Echter gaan we nu bekijken hoe we tot deze rekenregel komen.

In de onderstaande grafiek is de:

• blauwe lijn onze functie x^2
• rode lijn de afgeleide functie: 2x
• groene lijn de RC op de raaklijn van x^2

Voor simpliciteit is de functie x^2 gekozen in de grafiek, dit maakt voor ons nu niets uit. Wat belangrijk is, is de groene lijn, de raaklijn.

Om deze te berekenen, pakken we de average rate of change formule erbij (differentiaal quotiënt):

$$ \begin{split} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } \end{split} $$

In essentie bereken je hier óók de RC mee. Je pakt namelijk een klein stukje delta Y en deelt deze door delta X. Je krijgt dan de RC (bij benadering!) uit. Hoe groot je deze delta's maakt hangt af van h. Wat h is, is nu niet belangrijk. Waar het om gaat is om de benadering van de RC zo goed mogelijk te krijgen, je h oneindig klein moet maken. De RC raakt dan steeds meer de grafiek x^2 op een bepaald punt, maar het blijft een benadering, je krijgt deze met de differentiaal quotiënt nooit precies uit. Dit is echter wel mogelijk met behulp van limieten:

We kunnen nu met de differentiaal quotiënt + een limiet de exacte RC berekenen door hiervoor de afgeleide te vinden.

We pakken het differentiaal quotiënt weer erbij, maar nu met een limiet voor h. We moeten h oneindig klein maken om de beste nauwkeurigheid te verkrijgen. We zullen hierbij heel dicht bij 0 komen, maar zullen deze nooit bereiken, we kunnen immers geen 0 invullen bij onze differentiaal quotiënt, dan krijgen we een deling door 0! Het limiet is dus vanzelfsprekend 0, de waarde die we nooit zullen bereiken maar wel heel dicht kunnen benaderen.

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h) - f(a) }{ h } = f'(x) \end{split} $$

We substitueren f(a) voor onze functie x^4:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)\color{red}{ ^{4} } - f(x)\color{red}{ ^{4} } }{ h } = f'(x) \end{split} $$

Hetgeen wat we nu moeten doen, is deze formule vereenvoudigen. Dit heeft dus op dit moment niets meer met differentiëren te maken! Het is nu een kwestie om met behulp van de driehoek van pascal het merkwaardig product uit te werken, en vervolgens met machtsregels en breukregels verder vereenvoudigen.

Als eerst het merkwaardig product, deze bevindt zich als het blauw gearceerde:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ (x+h)^{4} } - x^{4} }{ h } \end{split} $$

We nemen de driehoek van pascal erbij:

We hebben een hogere-machts merkwaardig product van graad 4. Dus we nemen de factoren van n=4 uit de driehoek van pascal (1, 4, 6, 4 en 1), en kunnen nu de haakjes uitwerken.

• Blauw is het uitgewerkt merkwaardig product
• Oranje zijn de factoren uit de driehoek van pascal
• Zwart is ongewijzigd vanuit de vorige formule

Zoals je kunt zien hebben we nu een nogal lange reeks van een som van product-termen, precies wat we willen.

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ \color{orange}{1} \cdot x^{4} \cdot h^{0} \color{black}{+} \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h^{1} \color{black}{+} \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2} \color{black}{+} \color{orange}{4} \cdot x^{1} \cdot h^{3} \color{black}{+} \color{orange}{1} \cdot x^{0} \cdot h^{4} } - x^{4} }{ h } \end{split} $$

Toegegeven, het is een lange som, maar dit is enkel om aan te geven wat er gebeurt. We zullen onzinnige termen zoals 1 maal en x tot de macht 0 (=1) verwijderen, deze veranderen de formule niet, en word de formule iets eenvoudiger te lezen.

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{blue}{ x^{4} \color{black}{+} \color{orange}{4} \cdot x^{3} \cdot h \color{black}{+} \color{orange}{6} \cdot x^{2} \cdot h^{2} \color{black}{+} \color{orange}{4} \cdot x \cdot h^{3} \color{black}{+} h^{4} } - x^{4} }{ h } \end{split} $$

x^4 en -x^4 vallen in de teller tegen elkaar weg:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \color{red}{x^{4}} + 4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4} \color{red}{ - x^{4} } }{ h } \end{split} $$

Wordt:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ 4 \cdot x^{3} \cdot h + 6 \cdot x^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot x \cdot h^{3} + h^{4} }{ h } \end{split} $$

Nu komt een machtsregel (geen breukregel zoals doet vermoeden) erbij kijken. De noemer met h valt tegen de h-tjes in de teller weg:

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} ( 4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot h + 4 \cdot x \cdot h^{2} + h^{3} ) \end{split} $$

Nu komt onze vriend de limiet ons redden. Het limiet voor de formule is als h tot 0 gaat, dus vullen we overal waar h staat 0 in!

$$ \begin{split} \lim_{h \rightarrow 0} ( 4 \cdot x^{3} + 6 \cdot x^{2} \cdot \color{red}{0} + 4 \cdot x \cdot \color{red}{0}^{2} + \color{red}{0}^{3} ) \end{split} $$

We krijgen vervolgens onze eenvoudige uitkomst en tevens de rekenregel!

$$ \begin{split} 4 \cdot x^{3} \end{split} $$