1) $$ H(z) = \frac{1}{ z(z-1)(2z-1) } = \frac{ Y(z) }{ X(z) } $$

2) $$ Y(z)\{{z(z-1)(2z-1)}\} = X(z) $$

3) $$ z (z-1)(2z-1) $$

We groepen dan eerst het merkwaardige product en noemen dit X $$ z \underbrace{(z-1)(2z-1)}_\text{X} $$

$$ X = 2z^2 - z - 2z + 1 $$

Nu kunnen we de z vermenigvuldigen met de uitgewerkte X term $$ \eqalign{ z \cdot X &= z ( 2z^2 - z - 2z + 1 ) \\ &= 2z^3 - \underbrace{z^2 - 2z^2} + z \\ &= 2z^3 - 3z^2 + z } $$

4)

Nu kunnen we de uitgewerkte term weer terug plaatsen en verder uitwerken

$$ \begin{split} Y(z)\{{z(z-1)(2z-1)}\} \rightarrow Y(z)\{{2z^3 - 3z^2 + z}\} \\ {2z^3 Y(z)} - {3z^2 Y(z)} + z \end{split} $$

Dan gaan we vanuit de overdrachtsfunctie naar de (Recurrence relation) we vervangen daarbij z met een tijdverschijving van één.

$$ \begin{split} {2z^3 Y(z)} - {3z^2 Y(z)} + z &= X(z) \\ 2y[n+3] - 3y[n+2] + y[n+1] &= x[n] \\ 2y[n] - 3y[n-1] + y[n-2] &= x[n-3] \space\text{(-3 bij alle indexen)} \\\ 2y[n] \underbrace{- 3y[n-1] + y[n-2]}_\text{Naar rechts van = teken} &= x[n-3] \end{split} $$

$$ \begin{split} 2y[n] &= 3y[n-1] - y[n-2] + x[n-3] \\ \frac{ 2y[n] }{ 2 } &= \frac{ 3y[n-1] - y[n-2] + x[n-3] }{ 2 } \\ y[n] &= 1.5y[n-1] - 0.5y[n-2] + 0.5x[n-3] \end{split} $$