Ik ben tot de volgende verbanden met machten gekomen nadat ik me ging afvragen waarom b.v $ x^1 = x $ en $ x^0 = 1 $ geldt. Verschillende bronnen zeggen dat dit simpelweg een afspraak is, maar afspraken zonder logica gaan er bij mij moeilijk in, zo gezegd “Aard van het beestje”. Toch zit er zeker logica achter waarom deze uitkomsten gelden en is het daarom nuttig om deze eens nader te bekijken. Ze laten je (nogmaals) zien waarom de constanten 0 en 1 zo bijzonder zijn. Ook kunnen ze je helpen bepaalde vergelijkingen en uitkomsten te controleren.
Om meteen met de deur in huis te vallen hier enkele bijzondere machten om te bekijken ($ a $ = gedefinieerd als uitkomst):
$$ \begin{split} & x^{ <{-1} } \\ & x^{-1} &= \frac{1}{x^1} &\rightarrow 0 < a < \frac{1}{x} \\ & x^0 &= 1 &\rightarrow \frac{1}{x} < a < 1 \\ & x^1 &= x &\rightarrow 1 < a < x \\ & x^{>1} &= x \cdot x &\rightarrow a > x \end{split} $$
Let op: het bereik van $ a $ achter de pijl geeft het verband aan met de macht daarboven. Het is me in latex nog niet gelukt de matrix-haak goed toe te passen om dit beter te illustreren.
Wat kunnen we hier verder aan zien?
- De eerste macht: is de macht kleiner dan $ -1 $, dan is de uitkomst altijd kleiner dan $ \frac{1}{x} $, maar word deze nooit 0 !
- De tweede macht: is de macht $ -1 $, dan is de uitkomst $ \frac{1}{x} $. De macht tussen $ < {-1} $ en $ -1 $ zorgt dus altijd voor een uitkomst tussen $ 0 $ en $ \frac{1}{x} $.
- De derde macht: is de macht $ 0 $, dan is de uitkomst $ 1 $. De macht tussen $ -1 $ en $ 0 $ zorgt dus altijd voor een uitkomst tussen $ \frac{1}{x} $ en $ 1 $
- De vierde macht: is de macht $ 1 $, dan is de uitkomst $ x $. De macht tussen $ 0 $ en $ 1 $ zorgt dus altijd voor een uitkomst tussen $ 1 $ en $ x $
- De vijfde macht: is de macht groter dan $ 1 $, dan is de uitkomst altijd groter dan $ x $, en gaat deze naar oneindig.
Hopelijk heb ik hiermee wat inzicht gewekt in het bereik van machten. Samengevat hebben de getallen van de verzamling $ \mathbb{R} $ als macht $ x $ een uitkomst $ a $ (waarbij het grondtal $ b $ positief is) tot gevolg in de orde van:
$ 0 \rightarrow \mbox{oneindig} $ (positieve getallen van de verzameling $ \mathbb{R} $)
Met de bijzondere grensgebieden:
$ 0 < a < \frac{1}{x} < a < 1 < a < x < a < \mbox{oneindig} $
Door: — randy 2012/05/02 13:31